차원의 개념, 종류, 수학적차원

차원의 개념

 차원이라 함은 수학계에서 공간으로 표현되는 점의 위치를 나타내기 위해서 필요한 축의 수를 말한다. 이때 사용된 수를 그 공간의 매개변수라고 칭한다. 이 개념은 수학과 과학 여러 가지 분야에서 용도에 맞게 일반화된 형태로서 사용되고 있다. 예를 들면 평면에 포함된 한 점의 위치를 지정할 때는 두 숫자가 존재해야 한다. 구체적으로는 지구의 일부를 묘사한 지도 위에 특정 위치를 찾으려면 위도와 경도의 개념을 알아야 한다. 그래서 평면은 2차원이 된다. 하늘 위를 날아가는 비행기의 위치를 표현하기 위해서는 고도라는 한 가지 변수가 추가되는데, 이때 비행기의 위치는 3차원적 공간에 표시가 가능하다. 이때 세 개의 오일러 각도를 추가한 6차원의 공간을 생각해 본다면, 비행기의 방향과 궤적을 모두 함께 표기가 가능하다. 또한, 3차원의 공간에 시간을 네 번째 차원으로서 추가가 가능하다.

차원의 종류

 0차원의 점이 움직이게 되면 1차원의 선으로 나타나게 되며, 선이 움직여 평면적이 되면 2차원 면으로 변하게 된다. 이후 면이 병렬로 움직이게 되면 3차원 입체가 되는데, 입체가 움직여 4차원 형태의 초입체가 된다. 우주적 관점에서 차원은 11차원이라고 일컫는다. 공간차원은 고전물리학에서 물리 우주가 3가지 차원을 갖는 것으로 묘사한다. 공간의 각 점에서 움직임이 가능한 기본적 방향은 위와 아래, 왼쪽과 오른쪽, 앞과 뒤 3가지 형태로 생각하게 되면 모든 그 외 다른 방향으로서 움직임이 세 가지 방향으로 움직임을 조합한 형태로 표현이 가능하기 때문이다. 특히 왼쪽 방향을 양이라고 할 때 오른쪽 움직임은 왼쪽 음수만큼 움직이는 것과 같다고 한다. 수직방향은 좌표의 N개 좌표축에 모두 수직인 좌표축을 합산하면 N+1차원의 좌표가 된다. 시간차원은 네 번째 차원이라고도 말한다. 그러나 모든 운동이 시간축상 한방향성으로 나타나는 걸로 인식하는 부분에 시간이란 다른 세공 간 차원과 매우 큰 차이가 있다. 이에 따라 아리스토텔리스와 이후 고전 물리학과 수학에서 시간을 네 번째의 차원이라고 생각하지 않는다. 처음 시간 차원을 4차원으로 여겨진 것은 물리학자인 아인슈타인이다. 그는 4차원에 통합적 공간과 시간은 상호 대칭성을 가지며 회전이 가능하다고 주장했다. 물리학계에서 끈이론 등은 우주가 익히 알려진 3개 차원 외에 아원자 규모의 추가 차원을 지니고 있어 실제 시공간이 11차원일 것이라 예측했다. 이는 현시점에서 아직까지도 검증되지 않았다. 칼루자클라인 이론에 의거하면 3차원이 아니라 5차원이라고 한다. 중력과 전자기력을 5차원 이론으로서 통합시키려 했다.

수학적 차원

 수학에서는 차원의 개념을 필요로 하는 아주 많다. 한 가지의 정의는 여러 필요를 전부 만족시키는 것이 불가능하다. 따라서 수학자는 여러 종류의 공간에 적용하기 위한 여러 차원의 개념을 생성했지만, 모두 N차원 유클리드공간의 차원 개념에 유래한 것이다. 점은 0차원이고 직선은 1차원이며 평면은 2차원이다. 또한 4차원 대상의 좋은 예시가 된다. 연결위상다양체는 부분적으로 유클리드 공간과 위상동형이며 이때 이 다양체는 N차원이라고 말한다. 해당 방식으로서 모든 연결되는 위상다양체에 대해서 차원이 유일하게 정의됨을 보일 수가 있다. 위상수학에서는 1차원과 2차원 다양체론은 대체적으로 단순하며 차원이 5가지 이상인 경우에는 대다수의 차원상 작업을 통해서 문제를 간소화할 수가 있지만 4차원의 경우가 매우 어려운 상황이 따른다. 이는 푸엥카레추측을 비롯해서 여러 경우에서 나타나는 현상이다.